Teoremas e provas em LaTeX - CL 16

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Muito usado em trabalhos, o ambiente de teorema (theorem) é fundamental para qualquer artigo que exija prova formal de resultados matemáticos. Mesmo sendo usado comumente para teoremas, esse ambiente também pode ser usado para qualquer outro ambiente matemático, como Definição (Definition), Observação (Remark), Corolário (Corollary), Lema (Lemma) e outros. Assim, neste post iremos tratar de teoremas e provas em LaTeX.

Como você já deve ter previsto, tudo começa com um pacote. Nesse caso, é necessário usar o amsthm.

1. Pacote amsthm e ambiente theorem

Antes de mais nada, é necessário usar o pacote amsthm, da seguinte forma:

\usepackage{amsthm}

E então, definir o ambiente no preâmbulo do documento:

\newtheorem{definition}{Definição}

Note que o comando newtheorem tem dois parâmetros. No nosso exemplo, definition é a referência que você vai usar ao longo do seu texto, no tex, e Definição é o nome que você quer que o LaTeX use no documento final em pdf como nome desse ambiente. Usando esse exemplo, o ambiente Definição seria usado da seguinte forma no texto em edição (no arquivo tex):

     \begin{definition} 
           Neste espaço podemos escrever uma definição. 
     \end{definition}

Esse script produz o seguinte resultado no pdf:

1.1. Exemplo completo no editor

Como de costume, usaremos o TeXStudio como editor do texto. Nele, um script completo com essa definição ficaria da seguinte forma (você pode copiar e colar o script em qualquer editor :-D)

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{definition}{Definição}

\begin{document}
     \section{Introdução}
     Um texto qualquer.
     \begin{definition}
          Neste espaço podemos escrever uma definição.
     \end{definition}    Outro texto qualquer.
\end{document}

E o resultado completo em PDF fica assim:

2. Teoremas, definições e observações numerados

É possível numerar esses ambientes seguindo-se diferentes regras de acordo com o desejado em seu projeto. Vamos ilustrar as diferentes formas de numeração seguindo-se o seguinte exemplo.

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{corollary}{Corolário}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}

\begin{document}

\section{Introdução}
Definindo teoremas, corolários e lemas.

\begin{theorem}[Teorema de Pitágoras]
\label{theo:Pitagoras}
Em todo triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Esse resultado pode ser resumido usando-se a seguinte equação:
\[c^2=a^2+b^2,\]
em que $c$ representa o comprimento da hipotenusa, e $a$ e $b$ representam os comprimentos dos catetos.
\end{theorem}

Uma consequência do Teorema \ref{theo:Pitagoras} é apresentada no seguinte corolário.

\begin{corollary}
Em todo triângulo retângulo, o comprimento da hipotenusa é maior que o comprimento de qualquer um dos catetos e menor que a soma deles.
\end{corollary}

É possível ainda apresentar outra consequência do Teorema \ref{theo:Pitagoras}.

\begin{corollary}
Não existe triângulo retângulo cujos lados medem 1 cm, 2 cm e 3 cm.
\end{corollary}

\begin{lemma}
\label{lemma:Lema1}
Seja $C$ um ponto em uma semi-reta definida pelos pontos $A$ e $B$, $S_{AB}$, se o segmento $AC$ é tal que $\overline{AC} < \overline{AB}$, então o ponto $C$ está entre $A$ e $B$.
\end{lemma}

Note que a numeração do Lema \ref{lemma:Lema1} acompanha a numeração do teorema, ou seja, esse é o Lema 1.2 e não Lema 1.1.

\end{document}

Que produz o resultado:

Nesse exemplo, criamos três ambientes do tipo theorem, um chamado Teorema, um Corolário e um Lema. Cada ambiente segue uma regra de numeração que vamos detalhar a seguir, começando pelo Teorema.

2.1. Teorema

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]

A opção section desse ambiente determina que sua numeração seguirá o número da seção atual. A numeração desses ambientes será reiniciada a cada nova seção. Essa opção também pode ser usada para capítulos, chapter, porém com outra classe, dado que a classe article não prevê capítulos.

2.2. Corolário

\newtheorem{corollary}{Corolário}[theorem]

Nesse caso, como usamos a opção theorem, nome do ambiente anterior, a numeração dos corolários seguem a numeração dos teoremas, sendo reiniciado a cada novo teorema.

2.3. Lema

\newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}

Nesse caso, criamos o ambiente Lema, cujo contador acompanhará o do ambiente theorem. Note que nesse exemplo, como o Lema é chamado depois do Teorema, sua numeração continua, ao invés de seguir de forma independente. Note que para isso ocorrer, a opção vem antes do nome do ambiente.

2.4. Outros detalhes sobre o exemplo

Alguns comentários precisam ser feitos sobre esses ambientes. O primeiro é a possibilidade de se dar um “título” ao ambiente, como no caso do Teorema de Pitágoras. Isso é feito para teoremas que possuem algum tipo de destaque no trabalho ou são muito famosos. Para tanto, colocamos o título entre colchetes, logo depois do comando \begin{theorem}.

É importante chamar a atenção para outro detalhe importante nesse exemplo. Note que, como qualquer ambiente numerável no LaTeX, é possível usar o sistema de referências cruzadas e rotular o ambiente usando o comando \label, como ocorre no Teorema de Pitágoras e no ambiente Lema. Aqui é interessante que você crie seu próprio sistema de rotulação, no nosso caso, usamos o nome do ambiente seguido por uma palavra que o descreva, como por exemplo \label{theo:pitagoras}. Lembrando que para referenciar esses ambientes usamos o comando \ref.

3. Ambientes de teorema não numerados

Nem sempre é desejado usar teoremas, lemas, corolários, ou definições numerados (lembrando que se você precisar referenciar qualquer um desses ambientes no texto, ele deve ser numerado). O pacote amsthm também provê a possibilidade de usar esses ambientes sem numeração, para isso, basta definir o ambiente da seguinte forma.

\newtheorem*{remark}{Observação}

Com essa sintaxe, todos os ambientes de observação serão criados sem a numeração.

4. Estilos de teoremas

Também é possível alterar a forma como um determinado ambiente de teorema aparece no texto. Isso é feito usando o comando \theoremstyle:

\theoremstyle{Estilo}

É possível usar três estilos pré-definidos: plain, definition e remark. A seguir um exemplo que criamos uma observação e uma definição com estilos diferentes.

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definição}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Observação}

\begin{document}
\section{Introdução}
Definindo teoremas, corolários e lemas.

\begin{definition}
\label{def:qualquer}
Uma definição qualquer.
\end{definition}

A seguinte observação pode ser feita sobre a definição anterior.

\begin{remark}
Uma observação qualquer sobre a Definição \ref{def:qualquer}.
\end{remark}

\end{document}

Que produz o seguinte resultado.

A tabela a seguir resume o resultado do uso de cada um desses estilos.

Nome do estilo	Descrição	Aparência
`plain`	Usado para teoremas, lemas e preposições (padrão)	Teorema 1. Enunciado do teorema.
`definition`	Usado para definições e exemplos	Definição 2. Enunciado da definição.
`remark`	Usado para observações e comentários	Observação 3. Enunciado da observação

É possível criar seu próprio estilo de teorema usando o comando \newtheoremstyle, mas abordaremos isso em um episódio futuro.

5. Provas (Demonstrações)

As provas são parte integrante e fundamental de documentos matemáticos e usualmente são escritas em seguida a Lemas, Teoremas e Corolários. É possível usar um ambiente de prova já previsto no pacote amsthm, chamado proof, da seguinte forma.

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]

\begin{document}
\section{Introdução}
Definindo teoremas, corolários e lemas.

\begin{theorem}[Um resultado importante]
Aqui está!
\end{theorem}

\begin{proof}[Prova do Resultado Importante]
É verdade esse bilhete.
\end{proof}

\end{document}

Que produz o seguinte resultado.

Note que nesse exemplo, o ambiente Prova tem um título: “Prova do Resultado Importante”. Assim como no teorema, é possível inicializar esses ambientes sem um título particular dado pelo usuário. Para tanto, basta inicializar o ambiente que a palavra Demonstração ou Proof (dependendo da língua em que seu texto está sendo escrito) aparecerá em itálico.

5.1. Alterando o símbolo de término da prova

Note que no exemplo anterior, um quadrado de fundo branco foi impresso, indicando que o ambiente de prova foi encerrado. Esse símbolo é conhecido como Q.E.D. (quod erat demonstrandum em Latim) que significa algo como “como queríamos demonstrar”. Para mudar esse símbolo, usamos o comando \renewcommand\qedsymbol{NovoSimbolo}, como feito a seguir.

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[brazil]{babel} \usepackage{mathtools,amssymb}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Teorema}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{document}
\section{Introdução}
Definindo teoremas, corolários e lemas.

\begin{theorem}[Um resultado importante]
Aqui está!
\end{theorem}

\begin{proof}[Prova do Resultado Importante]
É verdade esse bilhete.
\end{proof}

\end{document}

Nesse caso, o símbolo QED será um quadrado preenchido, como ilustrado a seguir.

É importante notar que alguns símbolos são definidos em pacotes específicos. No caso que usamos de exemplo, o símbolo \blacksquare é definido no pacote amssymb, por isso a necessidade de se declarar \usepackage{amssymb} nesse último exemplo. De quebra, também usamos o pacote mathtools que melhora a aparência de textos com muitas fórmulas e símbolos matemáticos.

6. Conclusão

O ambiente de teoremas é usado frequentemente em trabalhos acadêmicos, sendo possível adaptar para diversos usos e particularidades. Como é um ambiente que pode ser referenciado, é muito mais prático e cômodo usar esse ambiente do que produzir um resultado semelhante à mão. É muito difícil não precisar desse ambiente, por isso esperamos que esse episódio ajude você a produzir seus trabalhos com qualidade.

Apresentação

Felipe Cabral

@felipecabralve

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Crédito das músicas de fundo

Music from https://filmmusic.io

“There It Is” by Kevin MacLeod Website: https://incompetech.com Licence: CC BY (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)

“Werq” by Kevin MacLeod Website: https://incompetech.com Licence: CC BY (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)

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