Dicas de matemática com resolução de questões do ENEM - 2

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Vamos continuar resolvendo algumas questões de matemática do ENEM 2014, Caderno Azul. Vamos lá…

Questão 141 Caderno Azul

Nessa questão, é necessário saber o que é mediana. A mediana é uma medida da localização do centro de uma amostra. Para obter a mediana é preciso ordenar os elementos da amostra em ordem crescente, ou seja, do menor para o maior. Se o número de elementos da amostra é ímpar, então a mediana é o elemento do meio. No caso em que o número de elementos é par, então a mediana é a média dos dois mais centrais. Mais um detalhe: não tem problema ter elementos repetidos, você continua ordenando os elementos do menor para o maior. Agora vamos para a questão.

Vamos ordenar as notas do candidato K em ordem crescente: 33, 33, 33, 34. Como o número de elementos é par, então a mediana é a média dos dois mais centrais: $\frac{33+33}{2} = 33$ . Agora vamos fazer o mesmo para os demais candidatos:

Candidato L: 32, 33, 34, 39 $\Rightarrow$ $\text{Mediana} =\frac{33+34}{2} =33,5$

Candidato M: 34, 35, 35, 36 $\Rightarrow$ $\text{Mediana} =\frac{35+35}{2} =35$

Candidato N: 24, 35, 37, 40 $\Rightarrow$ $\text{Mediana} =\frac{35+37}{2} =36$

Candidato P: 16, 26, 36, 41 $\Rightarrow$ $\text{Mediana} =\frac{26+36}{2} =31$

Logo, a resposta certa é N. Note que, sabendo o que é mediana, esse exercício também pode ser feito rapidamente.

Questão 142 Caderno Azul

Neste problema temos que calcular o volume do prisma reto trapezoidal. As medidas $h = 2m$ , $B = 6m$ , $C = 20m$ foram dadas. Falta calcular $b$ . Note que é dada ainda a informação de que a cada metro de altura, a largura do topo tem 0,5 m a mais. Logo, dá para calcular o ângulo $\theta$ do trapézio como mostrado na figura abaixo:

Note que $tan(\theta) = \frac{0,25}{1} = 0,25$ . Contudo, não é necessário calcular o valor de $\theta$ , uma vez que $tan(\theta) = \frac{x}{2}$ . Portanto,

$\frac{x}{2} = 0,25 \Rightarrow x = 0,5m$

Agora, temos o valor de $b$ , $b = B - 2x = 6 - 1 = 5m$ . Com o valor de $b$ podemos calcular a área do trapézio da figura acima:

$\text{Area} = \frac{(B+b)h}{2} = \frac{(6+5)2}{2} = 11 m^2$

O volume do prisma será $Volume = Area \times C = 11\times 20 = 220m^3$ . Como, de acordo com o enunciado, 1 tonelada ocupa $2m^3$ , então temos que a forragem ocupa $0,5$ toneladas por $m^3$ . Assim, em $220m^3$ temos $220\times 0,5 = 110$ toneladas. A resposta certa é A.

Questão 143 Caderno Azul

Esse dá para fazer sem conta alguma. Vamos primeiro dividir o objeto em três partes: um tronco de cone na parte mais baixa, um cilindro no meio e um outro tronco de cone na parte mais alta. No tronco de cone inferior, a área da base é maior do que a área do topo, isto é, a área da seção do tronco de cone vai diminuindo gradativamente à medida que nos aproximamos do seu topo. Vamos agora supor um primeiro intervalo de tempo $\Delta t$ em que a água entra no objeto. Supondo uma vazão constante $v$ , então o volume de água que entrou no objeto após $\Delta t$ segundos é $V = v \times \Delta t$ . Considere agora o tronco de cone de volume $V$ preenchido após o primeiro intervalo de $\Delta t$ segundos, e denote por $h$ a altura desse tronco de cone, como mostrado na figura abaixo:

Vamos considerar agora um segundo intervalo de tempo $\Delta t$ . Como a parte não preenchida do objeto tem seções com áreas menores do que a que já foi preenchida, então para ocupar o mesmo volume a altura do novo tronco de cone preenchido após o segundo intervalo de tempo $\Delta t$ terá que ser maior do que $h$ , ou seja, a altura após dois intervalos de tempo $\Delta t$ é maior do que $2h$ . Note que esse comportamento da altura é condizente somente com as figuras C e D. Para tirar a dúvida entre essas duas, note que na parte do cilindro, como a área da seção é constante e o volume $V$ de água que entra no objeto após $\Delta t$ segundos é constante, temos uma variação de altura pelo tempo também constante, o que mostra que a resposta certa é a letra D.

Questão 144 Caderno Azul

Essa também dá para fazer rápido. A questão tem a ver com a planificação de um cone. Pense em um cone feito de papel. Se pegarmos esse cone e abrirmos ele, qual será o formato encontrado da folha de papel? Essa é a pergunta chave para resolver a questão. Para ver a resposta, considere um segmento de reta qualquer no cone indo do topo até alcançar a base perpendicularmente como mostrado na figura a seguir. Vamos denotar o comprimento desse segmento de reta por $g$ .

Note que todos os segmentos de reta do topo até alcançarem a base perpendicularmente terão o mesmo comprimento $g$ . Logo, um cone completo planificado tem a forma apresentado em azul na figura abaixo:

Note que a lateral do cone planificada é um setor circular de raio $g$ . Contudo, essa não é a resposta da questão porque o adesivo será utilizado para revestir apenas a parte inferior do cone, ou seja, da base até a metade de sua altura. Logo, o adesivo deve ter a forma em azul abaixo.

Questão 145 Caderno Azul

A maneira mais elegante de resolver essa questão é por Álgebra Linear, mas é possível resolver só observando alguns fatos. Primeiro vamos eliminar as letras que não podem estar corretas. Note que a letra D não pode estar correta pois é dito que $y=0$ quando $x=0$ . A letra E também não pode ser correta porque $y=6$ quando $x=5$ . Restam A, B e C e aí é só substituir os valores de $x$ e verificar se dá o $y$ desejado. Logo de cara, testando a letra A, vemos que: