Série Enigmas da Matemática – 2


Parabéns ao Públio e ao Juliano por terem resolvido o problema do amuleto mágico… De fato a resposta certa é x_1=8, x_2=23, x_3=16, x_4=6, x_5=20, x_6=10, x_7=19, x_8=11, x_9=9 e n=65. Para encontrar a solução basta montar um sistema de equações lineares em que cada equação é associada a uma linha, coluna ou diagonal da matriz. Assim, teremos 12 equações e 10 incógnitas, sendo 10 equações linearmente independentes.

Vamos então ao segundo desafio. Encontre os valores de a e b que satisfazem à seguinte equação:

    \[ a! b! = a! + b!  \]

Esse nós tiramos do site http://mathschallenge.net/

Comente com a sua resposta. A solução virá no próximo post…

 

Se tiver algum desafio que queira propor, mande-nos pelo e-mail contato@vidaestudantil.com. Ele poderá ser o próximo desafio do vidaestudantil.com.

  • Gustavo

    Solução do desafio: Para a= b = x, a equação se torna x!^2 = 2x! cujo resultado é x = 2.
    Para a b, não há solução. Considere a! = n . Portanto, substituindo na equação temos que b! = n /(n-1). Para a = 0 e a =1, a fração é inexistente. E para todo $a \in mathbb(N): a > 1$ n é sempre par, logo n -1 é ímpar. Sendo assim, a fração não pode ser um número inteiro, finalizando a prova.

  • Públio Macedo Lima

    Como já discuti a resposta desse desafio com os autores não vou estar colocando aqui a minha solução (para o pessoal que esta vendo o site se sentir mais desafiado e tentar resolver ao invés de só olhar a resposta). Porém quero ainda comentar quanto a resolução do anterior.
    Montar um sistema de 12 equações, 10 incógnitas e achar 10 equações linearmente independentes pode ser muito complicado para pessoas ainda no ensino médio ou não engenheiros ou matemáticos. Com isso acredito que tenha uma solução mais simples pro problema.
    Como todas as linhas tem que somar o mesmo numero n e isso inclui todos os números na matriz não repetidos devemos ter que a soma de cada linha a media desses valores … assim pegando números de 1 a 25 e achando a media deles teremos 13 como uma linha tem 5 números nessa matriz teremos 5*13 (65) como a soma de cada linha… descobrindo assim o numero n.
    Após descobrir o valor de n o problema se torna simples sabendo que podemos isolar equações uma de cada vez com uma unica variável e assim descobrir os valores de x1 até x9 sem maiores dificuldades.

    • Vida Estudantil

      Boa resolução Públio…

  • Felipe

    Dividindo os dois lados por a! vemos que b>= a (como todo fatorial é inteiro, b!/a! não pode ser decimal). Divindo os dois lados por b!, vemos por outro lado que a>=b. Dividindo os dois lados por a!b!, chegamos na expressão 1 = 1/b! + 1/a!. Então concluimos que a = b =2.

  • Antonio Galiza

    Segue o link com a resolução do problema proposto: https://goo.gl/z9TM1n

  • wesley

    só tomar a=b=2