Dicas de matemática com resolução de questões do ENEM – 2


freeimages.com/John evans

freeimages.com/John evans

Vamos continuar resolvendo algumas questões de matemática do ENEM 2014, Caderno Azul. Vamos lá…

Questão 141 Caderno Azul

questao141

Nessa questão, é necessário saber o que é mediana. A mediana é uma medida da localização do centro de uma amostra. Para obter a mediana é preciso ordenar os elementos da amostra em ordem crescente, ou seja, do menor para o maior. Se o número de elementos da amostra é ímpar, então a mediana é o elemento do meio. No caso em que o número de elementos é par, então a mediana é a média dos dois mais centrais. Mais um detalhe: não tem problema ter elementos repetidos, você continua ordenando os elementos do menor para o maior. Agora vamos para a questão.

Vamos ordenar as notas do candidato K em ordem crescente: 33, 33, 33, 34. Como o número de elementos é par, então a mediana é a média dos dois mais centrais: \frac{33+33}{2} = 33. Agora vamos fazer o mesmo para os demais candidatos:

Candidato L: 32, 33, 34, 39 \Rightarrow \text{Mediana} =\frac{33+34}{2} =33,5

Candidato M: 34, 35, 35, 36 \Rightarrow \text{Mediana} =\frac{35+35}{2} =35

Candidato N: 24, 35, 37, 40 \Rightarrow \text{Mediana} =\frac{35+37}{2} =36

Candidato P: 16, 26, 36, 41 \Rightarrow \text{Mediana} =\frac{26+36}{2} =31

Logo, a resposta certa é N. Note que, sabendo o que é mediana, esse exercício também pode ser feito rapidamente.

 Questão 142 Caderno Azul


questao142aquestao142b

Neste problema temos que calcular o volume do prisma reto trapezoidal. As medidas h = 2m, B = 6m, C = 20m foram dadas. Falta calcular b. Note que é dada ainda a informação de que a cada metro de altura, a largura do topo tem 0,5 m a mais. Logo, dá para calcular o ângulo \theta do trapézio como mostrado na figura abaixo:

figuraquestao142c

Note que tan(\theta) = \frac{0,25}{1} = 0,25. Contudo, não é necessário calcular o valor de \theta, uma vez que tan(\theta) = \frac{x}{2}. Portanto,

    \[\frac{x}{2} =  0,25 \Rightarrow x = 0,5m\]

Agora, temos o valor de b, b = B - 2x = 6 - 1 = 5m. Com o valor de b podemos calcular a área do trapézio da figura acima:

    \[\text{Area} = \frac{(B+b)h}{2} = \frac{(6+5)2}{2} = 11 m^2\]

O volume do prisma será Volume = Area \times C = 11\times 20 = 220m^3. Como, de acordo com o enunciado, 1 tonelada ocupa 2m^3, então temos que a forragem ocupa 0,5 toneladas por m^3.  Assim, em 220m^3 temos 220\times 0,5 = 110 toneladas. A resposta certa é A.

Questão 143 Caderno Azul


questao143aquestao143b questao143c

Esse dá para fazer sem conta alguma. Vamos primeiro dividir o objeto em três partes: um tronco de cone na parte mais baixa, um cilindro no meio e um outro tronco de cone na parte mais alta. No tronco de cone inferior, a área da base é maior do que a área do topo, isto é, a área da seção do tronco de cone vai diminuindo gradativamente à medida que nos aproximamos do seu topo. Vamos agora supor um primeiro intervalo de tempo \Delta t em que a água entra no objeto. Supondo uma vazão constante v, então o volume de água que entrou no objeto após \Delta t segundos é V = v \times \Delta t. Considere agora o tronco de cone de volume V preenchido após o primeiro intervalo de \Delta t segundos, e denote por h a altura desse tronco de cone, como mostrado na figura abaixo:

troncodecone

Vamos considerar agora um segundo intervalo de tempo \Delta t. Como a parte não preenchida do objeto tem seções com áreas menores do que a que já foi preenchida, então para ocupar o mesmo volume a altura do novo tronco de cone preenchido após o segundo intervalo de tempo \Delta t terá que ser maior do que h, ou seja, a altura após dois intervalos de tempo \Delta t é maior do que 2h. Note que esse comportamento da altura é condizente somente com as figuras C e D. Para tirar a dúvida entre essas duas, note que na parte do cilindro, como a área da seção é constante e o volume V de água que entra no objeto após \Delta t segundos é constante, temos uma variação de altura pelo tempo também constante, o que mostra que a resposta certa é a letra D.

Questão 144 Caderno Azul



questao144aquestao144bquestao144c

Essa também dá para fazer rápido. A questão tem a ver com a planificação de um cone. Pense em um cone feito de papel. Se pegarmos esse cone e abrirmos ele, qual será o formato encontrado da folha de papel? Essa é a pergunta chave para resolver a questão. Para ver a resposta, considere um segmento de reta qualquer no cone indo do topo até alcançar a base perpendicularmente como mostrado na figura a seguir. Vamos denotar o comprimento desse segmento de reta por g.

cone

Note que todos os segmentos de reta do topo até alcançarem a base perpendicularmente terão o mesmo comprimento g. Logo, um cone completo planificado tem a forma apresentado em azul na figura abaixo:

 conecirculoNote que a lateral do cone planificada é um setor circular de raio g. Contudo, essa não é a resposta da questão porque o adesivo será utilizado para revestir apenas a parte inferior do cone, ou seja, da base até a metade de sua altura. Logo, o adesivo deve ter a forma em azul abaixo.

conecirculo2

Questão 145 Caderno Azul

questao145

A maneira mais elegante de resolver essa questão é por Álgebra Linear, mas é possível resolver só observando alguns fatos. Primeiro vamos eliminar as letras que não podem estar corretas. Note que a letra D não pode estar correta pois é dito que y=0 quando x=0. A letra E também não pode ser correta porque y=6 quando x=5. Restam A, B e C e aí é só substituir os valores de x e verificar se dá o y desejado. Logo de cara, testando a letra A, vemos que:

para x=10 \Rightarrow y=-\frac{1}{25}\times 10^2 + \frac{7}{5}\times 10 = 10 e

para x=5  \Rightarrow y=-\frac{1}{25}\times 5^2 + \frac{7}{5}\times 5 = 6

Resposta correta letra A.

To be continued…